尼科彻斯定理，也称为尼库曼定理，是一个数学定理，用于计算正多边形内接圆的直径和面积。以下是该定理的推导过程：

首先，考虑一个正n边形，其内接圆的半径为r，直径为d=2r。假设从正n边形的一个顶点出发，向内接圆的圆心引一条垂线，与内接圆相交于点O。由于是正多边形，这条垂线将正n边形分为两个等面积的等腰三角形。

考虑其中一个等腰三角形，其底边为正多边形的边，长度为a，高为r。根据等腰三角形的性质，其面积可以表示为：面积 = (1/2) * a * r。

而正n边形的总面积可以表示为：A = n * (1/2) * a * r = (n * a * r) / 2。

另外，根据圆的面积公式，内接圆的面积可以表示为：π * r^2。

由于正n边形的所有顶点都在内接圆上，因此正n边形的面积也可以表示为内接圆面积的n等分，即：A = (π * r^2) / n。

将两个表示正多边形面积的式子相等，得到：

(n * a * r) / 2 = (π * r^2) / n

化简后得到：

a = (2 * π * r) / n

由于a是正多边形的边长，可以通过正n边形的内角和外角关系，得到：

a = 2 * r * sin(π/n)

将a的表达式代入前面的等式，得到：

2 * r * sin(π/n) = (2 * π * r) / n

化简后得到：

d = n * sin(π/n)

这就是尼科彻斯定理中关于内接圆直径的公式。

接下来，我们再推导正n边形的面积公式。由于正n边形的面积可以表示为内接圆面积的n等分，因此：

A = (π * r^2) / n

而r可以通过直径d表示，即r=d/2，代入上式得到：

A = (π * (d/2)^2) / n = (d^2 * π) / (4 * n)

根据前面的推导，我们知道d=n*sin(π/n)，代入上式得到：

A = (n^2 * sin^2(π/n) * π) / (4 * n) = (n * d^2) / (4 * tan(π/n))

这就是尼科彻斯定理中关于正n边形面积的公式。

通过以上推导过程，我们得到了尼科彻斯定理的完整形式：正n边形的内接圆直径d=nsin(π/n)，正n边形的面积A=(nd^2)/(4*tan(π/n))。这两个公式在计算正多边形的面积和圆形的面积、弧长等方面有着广泛的应用。