当一个诉讼请求被法院驳回后，通常情况下，如果当事人希望继续上诉，他们需要在法定的上诉期内向上一级法院提出上诉。上诉期是一个法定的时间限制，过了这个期限，一般来说，就不能再就同一案件提出上诉了。

具体来说，如果一个案件在一审法院被驳回，当事人通常需要在收到一审判决书之日起的15日内（在某些特殊情况下可能是10日）向上一级法院提出上诉。如果在这个期限内没有提出上诉，那么一审判决就会生效，当事人就失去了通过上诉来进一步争取权益的机会。

然而，也有一些例外情况。例如，在某些司法管辖区，如果当事人能够证明他们有合理的理由没有在上诉期内提出上诉（例如，他们可能因为某种原因没有及时收到一审判决书），他们可能会得到法院的宽限，允许他们在过了上诉期之后仍然提出上诉。此外，如果当事人认为一审法院的判决存在严重的法律错误，他们还可以考虑通过其他途径来争取权益，例如向上一级法院提出申诉或者申请再审。

需要注意的是，具体的规定可能会因不同的司法管辖区和案件类型而有所不同。因此，如果你面临这样的情况，最好咨询一位专业的律师，以便了解你所在地的具体法律规定和可行的救济途径。

综上所述，驳回诉讼请求后，如果已经过了法定的上诉期，一般来说就不能再就同一案件提出上诉了。但是，当事人仍然可以考虑其他途径来争取权益，具体取决于当地的法律规定和案件情况。以上信息仅供参考，不构成任何法律建议。