答案：教师晋级正高职称的评审工作通常由省教育厅的师资处或者职称改革领导小组办公室等相关部门负责。

说明：根据提供的参考信息，我们可以得知省教育厅发布了多个关于教师职称评审的通知，这表明省教育厅负责组织和监督教师职称评审工作。具体的负责部门可能是处，因为师资处通常负责教师的培养、管理和评价等工作。此外，职称改革领导小组办公室也可能参与职称评审工作的组织和监督，因为该办公室通常负责职称改革的推进和职称评审政策的制定与实施。